Kinematika Rotasi

       Dalam kehidupan sehari-hari, Anda banyak menjumpai contoh gerak rotasi. Bumi berotasi pada sumbunya untuk bergerak mengelilingi Matahari dalam orbit yang bentuknya elips. Demikian juga Bulan yang berotasi pada sumbunya untuk bergerak mengelilingi Bumi. Dalam bagian ini, akan dibahas gerak benda yang berotasi pada sumbunya yang ditinjau secara umum menggunakan fungsi turunan dan integral.

1. Posisi Sudut dan Perpindahan Sudut

Di Kelas X, Anda telah mempelajari bahwa posisi sudut suatu partikel yang bergerak melingkar dinyatakan sebagai θ dengan satuannya dalam radian atau derajat. Apabila partikel tersebut berpindah, perpindahannya disebut perpindahan sudut. Perhatikanlah Gambar 6.1 berikut.

Gambar 6.1 Sebuah partikel yang berpindah dari titk P ke titik Q dalam lintasan lingkaran

Gambar tersebut menunjukkan sebuah partikel yang bergerak dalam lintasan berbentuk lingkaran berjari-jari R. Partikel tersebut berpindah dari titik P ke titik Q dengan jarak perpindahan linear Δs = s_Q – s_P dan perpindahan sudut Δθ = θ_Q – θ_P. Oleh karena itu, dapat dinyatakan hubungan sebagai berikut.

dengan:
Δθ = perpindahan sudut (rad),
Δs = perpindahan linear (m), dan
r = jari-jari lingkaran (m).

2. Definisi Kecepatan Sudut

Berdasarkan definisi kecepatan, kecepatan sudut adalah perubahan posisi sudut partikel per satuan waktu. Kecepatan sudut juga terbagi atas dua, yaitu kecepatan sudut rata-rata dan kecepatan sudut sesaat. Analisa kedua jenis kecepatan tersebut ditinjau dari perhitungan integral dan turunan akan dibahas pada bagian berikut.

a. Kecepatan Sudut Rata-Rata

Perpindahan sudut yang dilakukan oleh partikel yang bergerak melingkar merupakan fungsi waktu. Dengan demikian, dapat dituliskan θ = θ (t). Perhatikanlah Gambar 6.2.

Gambar 6.2 Perpindahan sudut sebesar Δθ selama selang waktu Δt

Posisi sudut benda di titik P pada saat t dinyatakan sebagai θ . Kemudian, partikel tersebut berpindah selama selang waktu Δt sejauh Δθ sehingga pada saat t + Δt, partikel berada di titik Q dengan posisi sudut θ + Δθ . Perpindahan sudut partikel tersebut adalah

Δθ =(θ + Δθ )−θ

Dengan demikian, kecepatan sudut partikel dapat dituliskan sebagai berikut.

Oleh karena θ bersatuan derajat, radian, atau putaran, ω pun dapat bersatuan derajat/sekon, radian/sekon, atau putaran per sekon. Apabila perpindahan sudut partikel tersebut dibuat grafik hubungan antara posisi sudut (θ ) terhadap waktu (t), seperti Gambar 6.3, Anda dapat melihat bahwa kecepatan sudut rata-rata dinyatakan sebagai perubahan posisi selama selang waktu tertentu.

Gambar 6.3 Perpindahan sudut sebesar Δθ selama selang waktu Δt pada partikel yang bergerak melingkar.

b. Kecepatan Sudut Sesaat

Perhatikanlah grafik posisi sudut terhadap waktu pada Gambar 6.5.

Gambar 6.5 Grafik posisi sudut,θ , terhadap waktu, t, kecepatan sudut rata-rata, ω = (Δθ/ Δt)

Apabila selang waktu perpindahan partikel yang bergerak melingkar menuju nol, kemiringan garis yang menyatakan kecepatan sudut rata-rata partikel akan semakin curam. Dengan demikian, kecepatan sudut sesaat dapat didefinisikan sebagai.

Atau

dengan kalimat lain dapat dinyatkan bahwa ω merupakan turunan pertama dari fungsi posisi sudut terhadap waktu. Satuan kecepatan sudut sesaat dinyatakan dalam radian/sekon.

Contoh menghitung posisi sudut

Posisi sudut suatu titik pada roda dinyatakan oleh θ = (3t² – 8t + 10) rad dengan t dalam sekon. Tentukanlah:

a. posisi sudut titik tersebut pada saat t = 2 sekon,

b. kecepatan sudut rata-rata selama 10 sekon pertama, dan

c. kecepatan sudut titik pada saat t = 10 sekon.

Jawab

Diketahui: θ = (3t² – 8t + 10) rad.

a. Posisi sudut titik pada saat t = 2 sekon adalah

θ = 3t² – 8t + 10 = 3(2)² – 8(2) + 10 = 6 rad.

b. Tentukan lebih dahulu posisi sudut titik pada saat t = 0 dan t = 10 s.

t = 10 s → θ = 3(10)² – 8(10) + 10 = 230 rad

t = 0 → θ = 3(0)² – 8(0) + 10 = 10 rad

Δθ = 230 – 10 = 220 rad.

Untuk selang waktu Δt = 10 sekon, kecepatan sudut rata-rata adalah

ω= (Δθ/ Δt) = (220/10) = 22 rad/s

c. Kecepatan sudut sesaat sebagai fungsi waktu ditentukan sebagai berikut.

Kecepatan sudut sesaat titik pada t = 10 s adalah ω = 6t – 8 = 6(10) – 8 = 52 m/s.

3. Menentukan Posisi Sudut dari Fungsi Kecepatan Sudut

Fungsi posisi sudut dapat ditentukan dengan cara mengintegralkan persamaan sudut sebagai fungsi waktu. Cara ini sama dengan cara menentukan posisi suatu benda dari pengintegralan fungsi kecepatan benda yanag telah dibahas pada subbab A. Dari Persamaan ω=( dθ/dt) Anda telah mengetahui bahwa

Apabila persamaan tersebut diintegralkan, akan dapat dituliskan persamaan integral sebagai berikut

dengan θ₀ = posisi sudut awal (rad atau derajat).

Perhatikanlah grafik pada Gambar 6.6. Oleh karena integral adalah penjumlahan yang kontinu, nilai ∫ ω (t) dt sama dengan luas daerah di bawah kurva grafik ω terhadap t.

Gambar 6.6 Posisi sudut partikel sama dengan daerah di bawah kurva.

4. Definisi Percepatan Sudut

Analogi dengan percepatan pada gerak linear, definisi percepatan sudut pada gerak melingkar adalah perubahan kecepatan sudut per satuan waktu. Pembahasan mengenai percepatan sudut juga terbagi atas dua, yaitu percepatan sudut rata-rata dan percepatan sudut sesaat.

a. Percepatan Sudut Rata-Rata

Kecepatan sudut pada saat t adalah sebesar ω dan pada saat t +Δt adalah sebesar ω + Δω . Percepatan sudut rata-rata partikel tersebut dapat dinyatakan sebagai

Atau

dengan satuan percepatan sudut α adalah dalam rad/s² .

b. Percepatan Sudut Sesaat

Percepatan sudut sesaat didefinisikan sebagai limit percepatan sudut rata-rata untuk selang waktu yang sangat kecil atau Δt menuju nol. Secara matematis, persamaannya dituliskan sebagai berikut.

Contoh menghitung percepatan sudut

Sebuah roda berotasi pada suatu poros tertentu. Titik partikel pada roda tersebut memenuhi persamaan kecepatan sudut ω = 2t² – 3t + 8, dengan ω dalam rad/s dan t dalam sekon. Tentukanlah:

a. percepatan sudut rata-rata partikel untuk selang waktu t = 2 sekon sampai t = 6 sekon,

b. percepatan sudut awal partikel, dan

c. percepatan sudut partikel pada saat t = 6 sekon.

Jawab

Diketahui: ω = 2t² – 3t + 8.

a. Persamaan umum kecepatan sudut adalah ω = 2t2 – 3t + 8 sehingga

untuk t₂ = 6 sekon, ω₂ = 2(6)² – 3(6) + 8 = 62 rad/s, dan

untuk t₁ = 2 sekon, ω₁ = 2(2)² – 3(2) + 8 = –6 rad/s.

Percepatan sudut rata-ratanya, diperoleh

= 17 rad/s².
b. Percepatan sudut sebagai fungsi waktu diperoleh dengan menerapkan persamaan berikut.

Percepatan sudut awal partikel (pada t = 0) adalah α = –3 rad/s².
c. Percepatan sudut partikel pada saat t = 6 sekon adalah α = 4(6) – 3 = 21 rad/s².

5. Menentukan Kecepatan Sudut dari Fungsi Percepatan Sudut

Berdasarkan Persamaan α= dω/dt, Anda telah mengetahui bahwa percepatan sudut adalah turunan pertama dari fungsi kecepatan sudut. Oleh karena itu, apabila persamaan percepatan sudut sebagai fungsi waktu suatu partikel diintegralkan, akan diperoleh persamaan kecepatan sudutnya.

dengan ω₀ = kecepatan sudut awal (rad/s)
Contoh menghitung kecepatan sudut dari percepatan sudut
Sebuah piringan hitam berputar dengan percepatan sudut α = (10 – 4t) rad/s² dengan t dalam sekon. Pada saat t = 0, sebuah titik berada pada sudut θ 0 = 0° dengan kecepatan sudut awal ω0 = 4 rad/s. Tentukan:
a. persamaan kecepatan sudut, dan
b. posisi sudut sebagai fungsi waktu.
Jawab
Diketahui: α = (10 – 4t) rad/s2, θ 0 = 0°, dan ω 0 = 4 rad/s. a. Gunakan persamaan kecepatan sudut.

ω = (4 + 10t – 2t²) rad/s.
b. Posisi sudut dapat ditentukan sebagai berikut.