Dalam melakukan faktorisasi suku banyak (polynomial), terdapat 3 langkah yang biasanya ditempuh:
- Perhatikan apakah masing-masing suku memiliki Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) yang tidak satu.
- Perhatikan apakah polynomial tersebut dapat difaktorkan dengan cara pengelompokan.
- Perhatikan apakah polynomial tersebut masuk ke dalam kasus khusus.
Faktor Persekutuan dan Faktor Persekutuan Terbesar
Faktor Persekutuan (Common Factor, Common Divisor)
adalah bentuk aljabar (bisa berupa konstanta, variabel, atau perkalian
keduanya) yang dapat membagi suku-suku polynomial. Faktor Persekutuan
Terbesar (Greatest Common Factor, Greatest Common Divisor) adalah faktor
persekutuan yang bernilai paling besar dan dapat membagi suku-suku
polynomial. Cara yang paling mudah dalam mencari FPB adalah dengan
memfaktorkan masing-masing suku terlebih dulu. Setelah itu, FPB
dikeluarkan ke luar tanda kurung.
Contoh 1:
- 5x + 10 = 5 ∙ x + 5 ∙ 2 = 5(x + 2)
- 12x2 – 9x = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ x ∙ x – 3 ∙ 3 ∙ x = 3x(4x – 3)
Pemfaktoran dengan Cara Pengelompokan
Sebelum melakukan pemfaktoran dengan pengelompokan, harap untuk
selalu memperhatikan apakah suku-suku dalam polynomial memiliki FPB yang
tidak satu atau tidak.
Contoh 2:
6
abx + 9
ax – 2
bx – 3
x
=
x(6
ab + 9
a – 2
b –
3)
=
x([6
ab + 9
a] + [–
2b –
3])
=
x(3
a[2
b +
3] – [2
b + 3])
=
x(3
a – 1)(2
b + 3)
Dalam pemfaktoran dengan cara pengelompokan, biasanya digunakan untuk
memfaktorkan polynomial yang bersuku 4. Pertama, dari keempat suku
polynomial
bagilah ke dalam dua kelompok. Masing-masing kelompok berilah tanda kurung. Yang perlu diperhatikan adalah bahwa
minimal satu grup dalam pengelompokan tersebut memiliki faktor persekutuan.
Setelah itu, keluarkan faktor persekutuan keluar tanda kurung pada
masing-masing kelompok. Bentuk aljabar yang ada di dalam kurung haruslah
sama. Apabila tidak sama, maka ada kesalahan dalam membagi kelompok
atau memang polynomial tersebut tidak dapat difaktorkan dengan cara
pengelompokan. Jadi diperlukan sedikit kecermatan dalam membagi kelompok
suku-suku polynomial.
Contoh 3A:
5
xy + 2
y – 20
x – 8
= (5
xy – 8) + (2
y – 20
x)
= (5
xy – 8) + 2(
y – 10
x)
Kesalahan dalam pembagian kelompok.
Contoh 3B:
5
xy + 2
y – 20
x – 8
= (5
xy + 2
y) + (–20
x – 8)
=
y(5
x + 2) – 4(5
x + 2)
= (
y – 4)(5
x + 2)
Contoh 4:
x + 2
xy + 3
y + 5
= (
x + 2
xy) + (3
y + 5)
=
x(1 + 2
y) + (3
y + 5)
Bentuk aljabar dalam kurung tidak sama, dan dengan pengelompokan lain
juga akan menghasilkan bentuk aljabar dalam kurung yang tidak sama, soal
tersebut tidak dapat difaktorkan dengan cara pengelompokan.
Pemfaktoran dengan cara pengelompokan juga dapat digunakan dalam memfaktorkan polynomial bentuk
ax2 +
bx +
c, dengan
a,
b, dan
c adalah bilangan real. Jika tidak terdapat suatu bilangan di depan salah satu suku
x, maka bilangannya adalah 1.
Contoh 5:
2
x2 +
x – 5
a = 2;
b = 1;
c = –5
Cara memfaktorkan trinomial, polinomial dengan 3 suku, adalah dengan
mengubahnya dari 3 suku menjadi 4 suku. Langkah pertama adalah
mencari 2 bilangan yang dijumlahkan menghasilkan b, dan jika dikalikan menghasilkan ac.
Jika tidak dapat ditemukan kedua bilangan yang memenuhi, maka trinomial
tersebut tidak dapat diselesaikan dengan cara pengelompokan. Setelah
ditemukan 2 bilangan yang memenuhi,
pecahlah b menjadi penjumlahan dari kedua bilangan tersebut. Setelah itu, permasalahannya dapat diselesaikan seperti contoh 2 – 4.
Contoh 6:
x2 + 2
x – 15. Cari dua bilangan yang
dijumlahkan hasilnya 2, jika dikalikan hasilnya 1 ∙ 15 = 15. Dengan
sedikit perhitungan, kedua bilangan tersebut adalah 5 dan –3. Setelah
itu pecahlah b = 2 menjadi penjumlahan dari kedua bilangan tersebut.
Sehingga 2
x = 5
x – 3
x. Diperoleh,
x2 + 2
x – 15
=
x2 + 5
x – 3
x – 15
=
x(
x + 5) – 3(
x + 5)
= (
x – 3)(
x + 5)
Contoh 7:
6
x2 – 5
x – 4
= 6
x2 – 8
x + 3
x – 4
= 2
x(3
x – 4) + (3
x – 4)
= (2
x + 1)(3
x – 4)
Pemfaktoran Kasus Khusus
Berikut ini adalah kasus khusus dalam pemfaktoran yang perlu diingat.
- a2 – b2 = (a + b)(a – b)
- a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2)
- a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2)
|
Contoh 8:
x2 – 9 = (
x + 3)(
x – 3)
Contoh 9:
x3 + 8 =
x3 + 2
3 = (
x + 2)(
x2 – 2
x + 4)
Contoh 10:
8
x3 – 27 = (2
x)
3 – 3
3 = (2
x – 3)(4
x2 + 6
x + 9)
Substitusi
Cara substitusi digunakan untuk pemfaktoran trinomial bentuk
ax2m +
bxm +
c, dengan
a,
b,
c, dan
m bilangan real. Yang perlu dilakukan adalah dengan memisalkan
u =
x2, kemudian difaktorkan secara biasa. Setelah difaktorkan dalam
u, substitusi
u dengan
x2.
Contoh 11:
x4 – 4
x2 – 45; misal
u =
x2
=
u2 – 4
u2 – 45
= (
u – 9)(
u + 5)
= (
x2 – 9)(
x2 + 5)
= (
x + 3)(
x – 3)(
x2 + 5)
Contoh 12:
(
x – 2)
2 – 9; misal
u =
x – 2
=
u2 – 9
= (
u + 3)(
u – 3)
= (
x – 2 + 3)(
x – 2 – 3)
= (
x + 1)(
x – 5)