Metode-metode Faktorisasi Suku Banya

Dalam melakukan faktorisasi suku banyak (polynomial), terdapat 3 langkah yang biasanya ditempuh:

1. Perhatikan apakah masing-masing suku memiliki Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) yang tidak satu.
2. Perhatikan apakah polynomial tersebut dapat difaktorkan dengan cara pengelompokan.
3. Perhatikan apakah polynomial tersebut masuk ke dalam kasus khusus.

Faktor Persekutuan dan Faktor Persekutuan Terbesar
Faktor Persekutuan (Common Factor, Common Divisor) adalah bentuk aljabar (bisa berupa konstanta, variabel, atau perkalian keduanya) yang dapat membagi suku-suku polynomial. Faktor Persekutuan Terbesar (Greatest Common Factor, Greatest Common Divisor) adalah faktor persekutuan yang bernilai paling besar dan dapat membagi suku-suku polynomial. Cara yang paling mudah dalam mencari FPB adalah dengan memfaktorkan masing-masing suku terlebih dulu. Setelah itu, FPB dikeluarkan ke luar tanda kurung.
Contoh 1:

• 5x + 10 = 5 ∙ x + 5 ∙ 2 = 5(x + 2)
• 12x² – 9x = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ x ∙ x – 3 ∙ 3 ∙ x = 3x(4x – 3)

Pemfaktoran dengan Cara Pengelompokan
Sebelum melakukan pemfaktoran dengan pengelompokan, harap untuk selalu memperhatikan apakah suku-suku dalam polynomial memiliki FPB yang tidak satu atau tidak.
Contoh 2:
6abx + 9ax – 2bx – 3x
= x(6ab + 9a – 2b – 3)
= x([6ab + 9a]  + [–2b – 3])
= x(3a[2b + 3] – [2b + 3])
= x(3a – 1)(2b + 3)
Dalam pemfaktoran dengan cara pengelompokan, biasanya digunakan untuk memfaktorkan polynomial yang bersuku 4. Pertama, dari keempat suku polynomial bagilah ke dalam dua kelompok. Masing-masing kelompok berilah tanda kurung. Yang perlu diperhatikan adalah bahwa minimal satu grup dalam pengelompokan tersebut memiliki faktor persekutuan. Setelah itu, keluarkan faktor persekutuan keluar tanda kurung pada masing-masing kelompok. Bentuk aljabar yang ada di dalam kurung haruslah sama. Apabila tidak sama, maka ada kesalahan dalam membagi kelompok atau memang polynomial tersebut tidak dapat difaktorkan dengan cara pengelompokan. Jadi diperlukan sedikit kecermatan dalam membagi kelompok suku-suku polynomial.
Contoh 3A:
5xy + 2y – 20x – 8
= (5xy – 8) + (2y – 20x)
= (5xy – 8) + 2(y – 10x)
Kesalahan dalam pembagian kelompok.
Contoh 3B:
5xy + 2y – 20x – 8
= (5xy + 2y) + (–20x – 8)
= y(5x + 2) – 4(5x + 2)
= (y – 4)(5x + 2)
Contoh 4:
x + 2xy + 3y + 5
= (x + 2xy) + (3y + 5)
= x(1 + 2y) + (3y + 5)
Bentuk aljabar dalam kurung tidak sama, dan dengan pengelompokan lain juga akan menghasilkan bentuk aljabar dalam kurung yang tidak sama, soal tersebut tidak dapat difaktorkan dengan cara pengelompokan.
Pemfaktoran dengan cara pengelompokan juga dapat digunakan dalam memfaktorkan polynomial bentuk ax² + bx + c, dengan a, b, dan c adalah bilangan real. Jika tidak terdapat suatu bilangan di depan salah satu suku x, maka bilangannya adalah 1.

Contoh 5:
2x² + x – 5
a = 2; b = 1; c = –5
Cara memfaktorkan trinomial, polinomial dengan 3 suku, adalah dengan mengubahnya dari 3 suku menjadi 4 suku. Langkah pertama adalah mencari 2 bilangan yang dijumlahkan menghasilkan b, dan jika dikalikan menghasilkan ac. Jika tidak dapat ditemukan kedua bilangan yang memenuhi, maka trinomial tersebut tidak dapat diselesaikan dengan cara pengelompokan. Setelah ditemukan 2 bilangan yang memenuhi, pecahlah b menjadi penjumlahan dari kedua bilangan tersebut. Setelah itu, permasalahannya dapat diselesaikan seperti contoh 2 – 4.
Contoh 6:
x² + 2x – 15. Cari dua bilangan yang dijumlahkan hasilnya 2, jika dikalikan hasilnya 1 ∙ 15 = 15. Dengan sedikit perhitungan, kedua bilangan tersebut adalah 5 dan –3. Setelah itu pecahlah b = 2 menjadi penjumlahan dari kedua bilangan tersebut. Sehingga 2x = 5x – 3x. Diperoleh,
x² + 2x – 15
= x² + 5x – 3x – 15
= x(x + 5) – 3(x + 5)
= (x – 3)(x + 5)
Contoh 7:
6x² – 5x – 4
= 6x² – 8x + 3x – 4
= 2x(3x – 4) + (3x – 4)
= (2x + 1)(3x – 4)

Pemfaktoran Kasus Khusus
Berikut ini adalah kasus khusus dalam pemfaktoran yang perlu diingat.

a2 – b2 = (a + b)(a – b) a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2) a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2)

Contoh 8:
x² – 9 = (x + 3)(x – 3)
Contoh 9:
x³ + 8 = x³ + 2³ = (x + 2)(x² – 2x + 4)
Contoh 10:
8x³ – 27 = (2x)³ – 3³ = (2x – 3)(4x² + 6x + 9)

Substitusi
Cara substitusi digunakan untuk pemfaktoran trinomial bentuk ax^2m + bx^m + c, dengan a, b, c, dan m bilangan real. Yang perlu dilakukan adalah dengan memisalkan u = x², kemudian difaktorkan secara biasa. Setelah difaktorkan dalam u, substitusi u dengan x².
Contoh 11:
x⁴ – 4x² – 45; misal u = x²
= u² – 4u² – 45
= (u – 9)(u + 5)
= (x² – 9)(x² + 5)
= (x + 3)(x – 3)(x2 + 5)
Contoh 12:
(x – 2)² – 9; misal u = x – 2
= u² – 9
= (u + 3)(u – 3)
= (x – 2 + 3)(x – 2 – 3)
= (x + 1)(x – 5)